As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Contém e contêm são formas conjugadas do verbo conter no presente do indicativo. Estão, contudo, conjugadas em diferentes pessoas.
Contém, com acento agudo, está na 3ª pessoa do singular e contêm, com acento circunflexo, está na 3ª pessoa do plural. Contem, sem acento, não é uma forma conjugada do verbo conter, mas do verbo contar.
O verbo conter é sinônimo de abranger, englobar, incluir, abarcar, comportar, controlar, reprimir e dominar, entre outros.
(Eu) contenho
(Tu) conténs
(Ele) contém
(Nós) contemos
(Vós) contendes
(Eles) contêm
Na língua portuguesa, os verbos derivados dos verbos ter e vir são conjugados com acento agudo na 3ª pessoa do singular e com acento circunflexo na 3ª pessoa do plural.
Acento agudo no singular:
ele contém;
ele mantém;
ele retém;
ele intervém;
ele provém;
ele advém.
Acento circunflexo no plural:
eles contêm;
eles mantêm;
eles retêm;
eles intervêm;
eles provêm;
eles advêm.
Contém é também a forma conjugada do verbo conter na 2.ª pessoa do singular do imperativo.
(Eu) ---
(Tu) contém
(Ele) contenha
(Nós) contenhamos
(Vós) contende
(Eles) contenham
Contem, sem acento gráfico, é a forma conjugada do verbo contar na 3.ª pessoa do plural do presente do subjuntivo (que eles contem) ou na 3.ª pessoa do plural do imperativo (contem eles).
O Novo Acordo Ortográfico, que entrou em vigor em janeiro de 2009, não trouxe qualquer alteração à acentuação do verbo conter. Já se escrevia assim e devemos continuar escrevendo dessa forma.