As duas formas estão corretas: internet (com letra minúscula) e Internet (com letra maiúscula). Os principais dicionários registram a palavra com letra minúscula. Contudo, fazem referência que a palavra também pode ser grafada com letra maiúscula:
A escrita da palavra Internet, com letra maiúscula, deve-se ao entendimento da Internet como uma entidade única: uma rede mundial de computadores. Sendo concebida como um substantivo próprio, fica justificada a sua escrita com letra inicial maiúscula.
Exemplos com Internet:
A escrita da palavra internet, com letra minúscula, deve-se ao uso atual da palavra. Indica não só a rede mundial de computadores, como também cada uma das ligações a essa rede. Representa também um meio de comunicação, tal como a televisão, o jornal, a rádio,… Havendo um entendimento da palavra como um substantivo comum, fica justificada a sua escrita com letra inicial minúscula.
Exemplos com internet:
Sendo um estrangeirismo, o mais correto seria escrever a palavra internet em itálico ou entre aspas, indicando sua condição de palavra estrangeira. Na realidade, contudo, isso não se verifica. Talvez, devido ao uso frequente da palavra e à sua natural incorporação na língua portuguesa.