As duas formas - a fim e afim - existem na língua portuguesa e estão corretas, mas seus significados são diferentes e devem ser usadas em situações diferentes.
A fim, escrito separado, é a forma mais utilizada. Indica interesse ou propósito:
Afim, escrito junto, tem um uso mais reduzido. Indica semelhança e afinidade:
A fim, escrito de forma separada, é utilizado na locução prepositiva a fim de.
A fim de indica uma finalidade, um propósito ou uma intenção, sendo sinônimo de para, com a intenção de, com o propósito de:
A fim de indica interesse ou desejo por alguém ou por alguma coisa. Esse sentido de estar com vontade é mais utilizado em contextos informais:
Em algumas situações, a preposição de pode estar subentendida, sendo necessário analisar o contexto em que a frase ocorre:
Enquanto adjetivo, a palavra afim, escrita de forma junta, se refere a coisas que são semelhantes, possuindo ligação. É sinônimo de semelhante, parecido, similar, análogo, conforme, próximo e vizinho.
Enquanto substantivo, a palavra afim, escrita de forma junta, indica pessoas que são parentes por afinidade ou partidárias. É sinônimo de parente por afinidade, aparentado, adepto, aderente e aliado. É maioritariamente utilizado no plural: afins.
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