A forma correta de escrita da palavra é aparece, com c. Está errada a palavra apareçe, com ç. Aparece é a forma conjugada do verbo aparecer na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo ou na 2.ª pessoa do singular do imperativo.
Verbo aparecer - presente do indicativo:
(Eu) apareço
(Tu) apareces
(Ele) aparece
(Nós) aparecemos
(Vós) apareceis
(Eles) aparecem
Verbo aparecer - imperativo:
(Eu) ---
(Tu) aparece
(Ele) apareça
(Nós) apareçamos
(Vós) aparecei
(Eles) apareçam
O verbo aparecer indica o ato de se tornar visível, de surgir repentinamente, de se manifestar, ficando patente, de comparecer em algum lugar, de sair numa publicação e de ocorrer, passando a ser realidade.
É assim sinônimo de apresentar-se, mostrar-se, surgir, despontar, manifestar-se, revelar-se, comparecer, chegar, exibir-se, pavonear-se, publicar-se, sair, ocorrer, acontecer e suceder, entre outros.
Com base nas regras fonéticas e ortográficas do português, o ç apenas é usado com as vogais a, o, u para obtenção do som /ss/: ça, ço, çu. Nunca se escreve ç antes da vogal i e da vogal e, bastando a consoante c para ser lido o som /ss/: ce e ci.
Quase todas as formas conjugadas do verbo aparecer são escritas com c, por serem maioritariamente seguidas de e: aparece, aparecemos, aparecerei, apareceria, aparecessem,...
Há, contudo, algumas formas verbais escritas com ç por serem seguidas da vogal a ou da vogal o: apareço, apareça, apareçam, apareçamos,... A alteração de c para ç ocorre para que haja manutenção da sonoridade.