As duas construções são corretas. Podemos aspirar alguma coisa ou aspirar a alguma coisa. Conforme o seu sentido, o verbo aspirar pode ser um verbo transitivo direto (não preposicionado) ou um verbo transitivo indireto (preposicionado).
O verbo aspirar se refere ao ato de inserir ar nos pulmões, bem como fluidos, odores,... Refere-se também ao ato de sugar pó e outras partículas através de vácuo. Inspirar indica ainda o ato de desejar muito alguma coisa.
Aspirar é, assim, sinônimo de inspirar, inalar, cheirar, absorver, sugar, sorver, desejar, almejar, ambicionar e cobiçar, entre outros.
Com sentido de inspirar, inalar, cheirar, absorver, sugar e sorver, o verbo aspirar é um verbo transitivo direto, estabelecendo regência verbal sem a presença de uma preposição:
Exemplos com aspirar (transitivo direto):
Com sentido de desejar muito alguma coisa, o verbo aspirar é um verbo transitivo indireto, estabelecendo regência verbal através da preposição a - aspirar a alguma coisa. Pode ocorrer assim a contração da preposição a com o artigo definido que se segue, ficando ao ou à:
Exemplos com aspirar (transitivo indireto):