As duas palavras existem na língua portuguesa. Auxilio é o verbo auxiliar conjugado na 1ª pessoa do singular do presente do indicativo. O verbo auxiliar se refere ao ato dar auxílio a alguém, ajudar, amparar, socorrer. A palavra auxílio é um substantivo comum masculino, sinônimo de ajuda, socorro, amparo. Também se usa com sentido de subsídio, caridade, esmola.
A pronúncia das duas palavras é diferente. Em auxílio (au-xí-li-o) a sílaba tônica é o xí e em auxilio (au-xi-li-o) a sílaba tônica é o li.
Devemos utilizar a palavra auxílio se nos referirmos a um substantivo comum masculino.
Exemplos:
Com seu auxílio conseguirei terminar esta tarefa hoje.
Sempre que você precisar de mim, virei em seu auxílio.
Será disponibilizado um auxílio de três mil reais.
Se estivermos falando do verbo auxiliar conjugado na 1ª pessoa do singular do presente do indicativo, devemos utilizar: eu auxilio.
Presente do indicativo:
(Eu) auxilio
(Tu) auxilias
(Ele) auxilia
(Nós) auxiliamos
(Vós) auxiliais
(Eles) auxiliam
Exemplo:
Eu auxilio meu filho nos deveres de casa.
Todos os dias, auxilio meu irmão na limpeza da loja.