As duas formas existem na língua portuguesa e estão corretas.
Berinjela, com j, é a forma correta de escrita no português do Brasil.
Beringela, com g, é a forma correta de escrita no português de Portugal.
O substantivo feminino berinjela se refere a uma planta da família das solâneas ou ao fruto dessa planta, que é comestível, oval, de cor arroxeada por fora e esbranquiçada por dentro.
As consoantes g e j representam o mesmo fonema quando formam sílaba com a
vogal i e com a vogal e: ge = je e gi = ji.
A palavra berinjela poderá ter sua origem na palavra persa badndjan, pelo árabe bâdinjâna ou na palavra em espanhol berenjena. A palavra originalmente era escrita com g e passou a ser escrita com j após o aprofundamento dos estudos sobre sua origem.
Normalmente, se escrevem com j as palavras de origem árabe, africana e tupi:
No português do Brasil a palavra sofreu evolução e no português de Portugal a palavra manteve a sua forma antiga.
Tal como a palavra berinjela, as palavras cognatas de berinjela deverão ser também escritas com j no Brasil e com g em Portugal.
Escrita no Brasil:
berinjela;
aberinjelar;
aberinjelado.
Escrita em Portugal:
beringela;
aberingelar;
aberingelado.