As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas, mas não se referem a duas formas conjugadas do verbo cair. Por isso, é preciso atenção em sua utilização.
Caem é uma forma conjugada do verbo cair.
Caiem é uma forma conjugada do verbo caiar.
Verbo cair: Meninos, parem de correr! Vocês se machucam muito se caem aqui!
Verbo caiar: Vou esperar que eles caiem a parede para ver se há cal suficiente.
Usar o verbo caiem com sentido de cair está errado.
Caem é a forma conjugada do verbo cair na 3.ª pessoa do plural do presente do indicativo.
Verbo cair - Presente do indicativo:
(Eu) caio
(Tu) cais
(Ele) cai
(Nós) caímos
(Vós) caís
(Eles) caem
O verbo cair indica o ato de tombar, despencar, baixar e descer, bem como o ato de ficar bem, perder energia, força e ânimo, ser enganado, atacar, desaparecer e perder ou morrer, entre outros.
Caiem é a forma conjugada do verbo caiar na 3.ª pessoa do plural do presente do subjuntivo ou na 3.ª pessoa do plural do imperativo.
Verbo caiar - Presente do subjuntivo:
(Que eu) caie
(Que tu) caies
(Que ele) caie
(Que nós) caiemos
(Que vós) caieis
(Que eles) caiem
Verbo caiar - Imperativo:
… (eu)
caia (tu)
caie (você)
caiemos (nós)
caiai (vós)
caiem (vocês)
O verbo caiar indica principalmente o ato de pintar com cal diluída em água ou com qualquer outro produto branco. Pode indicar também o ato de branquear ou de encobrir a realidade.