As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Ambas são formas conjugadas do verbo cair na 3ª pessoa do plural. Estão, contudo, conjugadas em diferentes tempos verbais. O verbo caíram está no pretérito perfeito do indicativo e cairão está no futuro do presente do indicativo.
A pronúncia das duas palavras é diferente. Em caíram (ca-í-ram) a sílaba tônica é o í e em cairão (ca-i-rão) a sílaba tônica é o rão.
Pretérito perfeito do indicativo:
(Eu) caí
(Tu) caíste
(Ele) caiu
(Nós) caímos
(Vós) caístes
(Eles) caíram
Exemplos:
No fim de semana passado, elas caíram na aula de dança.
Ontem, fiz bolinhos de chuva, mas eles caíram no chão.
Futuro do presente do indicativo:
(Eu) cairei
(Tu) cairás
(Ele) cairá
(Nós) cairemos
(Vós) caireis
(Eles) cairão
Exemplos:
Na próxima semana, cairão as temperaturas em todo Brasil.
No próximo mês começará o outono e as folhas das árvores cairão.
Podemos verificar esta situação na maioria dos verbos existentes.
Exemplo:
Ontem elas andaram de bicicleta. / Amanhã elas andarão de bicicleta.
No mês passado eles correram a maratona. / No mês que vem eles correrão a maratona.
Há duas semanas eles partiram para a Europa. / Daqui a duas semanas eles partirão para a Europa.