As formas verbais chego e chegado existem na língua portuguesa e estão corretas, mas devem ser usadas em situações diferentes.
Apenas chegado é o particípio do verbo chegar:
Chego é apenas uma forma do verbo chegar conjugado no presente do indicativo: eu chego. O seu uso como particípio está errado.
O verbo chegar não é um verbo abundante, não admitindo duas formas equivalentes do particípio (o regular e o irregular). Apenas aceita um particípio regular: chegado.
Certo: Eu tinha chegado muito cedo ao trabalho naquele dia.
Errado: Eu tinha chego muito cedo ao trabalho naquele dia.
Chegado é o particípio do verbo chegar. O particípio permite a formação de locuções verbais e de tempos verbais compostos e transmite a noção da conclusão da ação verbal, ou seja, o estado da ação depois de terminada.
Verbo chegar - Particípio:
chegado
Chego nunca deverá ser usado como particípio. Chego é apenas a forma conjugada do verbo chegar na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo: eu chego.
Verbo chegar - Presente do indicativo:
(Eu) chego
(Tu) chegas
(Ele) chega
(Nós) chegamos
(Vós) chegais
(Eles) chegam
O presente do indicativo indica, principalmente, uma ação que ocorre no exato momento em que se narra a ação. Indica também uma ação habitual, uma característica do sujeito, um estado permanente de uma situação ou a verdade científica dos fatos. Pode ser usado ainda para indicar uma ação que ocorrerá num futuro próximo ou enfatizar fatos ocorridos no passado.
O verbo chegar se refere ao ato de vir, acontecer, alcançar, ser suficiente, aproximar, ir embora, orçar e se igualar.
A sua origem é incerta, podendo vir da palavra em latim plicare, que significa dobrar e enrolar. Adquiriu os significados atuais, possivelmente, devido à expressão latina plicare velam, ou seja, o dobrar das velas que os marinheiros faziam quando os barcos chegavam aos portos.