A forma correta de escrita deste verbo é chover, com o na primeira sílaba.
A palavra chuver está errada. Embora o substantivo chuva seja escrito com u, o verbo chover é escrito com o.
Chover se refere ao ato de cair chuva. Em sentido figurado pode significar também algo que acontece em abundância ou que cai do alto, como a chuva.
O verbo chover é um verbo impessoal, ou seja, não apresenta sujeito, devendo ser sempre conjugado sempre na 3.ª pessoa do singular:
Os verbos que indicam fenômenos atmosférico e da natureza são impessoais, como chover, ventar, amanhecer, anoitecer.
Presente do indicativo: chove
Pretérito perfeito do indicativo: choveu
Pretérito imperfeito do indicativo: chovia
Pretérito mais-que-perfeito do indicativo: chovera
Futuro do presente do indicativo: choverá
Futuro do pretérito do indicativo: choveria
Presente do subjuntivo: que chova
Pretérito imperfeito do subjuntivo: se chovesse
Futuro do subjuntivo: quando chover
Gerúndio: chovendo
Particípio: chovido
Quando utilizado com sentido figurado, o verbo chover deixa de ser impessoal, podendo ser utilizado nas diversas pessoas do discurso:
A dúvida na utilização de o ou u surge porque o verbo chover é escrito com o na primeira sílaba (cho-ver) e a palavra chuva é escrita com u na primeira sílaba (chu-va). Esse fato ocorre porque chover tem sua origem na palavra em latim plovere e chuva tem sua origem na palavra em latim pluvia.