As duas palavras estão corretas e existem na língua portuguesa. Podemos utilizar os substantivos comuns masculinos cociente ou quociente, sempre que quisermos referir o resultado de uma divisão, ou seja, quantas vezes o divisor cabe no dividendo. Refere-se também a um número inserido numa determinada escala. A palavra quociente é tida como a mais correta e socialmente aceite, sendo a mais utilizada. A palavra cociente, embora com menor uso, aparece em dicionários como sendo o mesmo que quociente.
A palavra quociente tem sua origem na palavra em latim quotiente, que significa quantas vezes. Em quociente manteve sua origem, em cociente sofreu evolução, ou seja, adequação ortográfica.
Exemplos:
Qual o quociente desta divisão?
Qual o cociente desta divisão?
Aquele aluno tem um quociente de inteligência altíssimo.
Aquele aluno tem um cociente de inteligência altíssimo.
Existem, na língua portuguesa, palavras que apresentam mais do que uma grafia correta. A estas palavras chamamos formas gráficas variantes. Embora haja sempre uma forma preferida e mais utilizada pelos falantes, todas as formas são corretas.