As duas opções estão corretas, mas devem ser usadas em situações diferentes.
Com nós deverá ser utilizado apenas quando houver uma referência às pessoas abrangidas pelo pronome nós:
Conosco deverá ser utilizado quando não houver essa referência:
Nós (na expressão com nós) e conosco são pronomes pessoais oblíquos tônicos indicativos da 1.ª pessoa do plural. São sempre precedidos de uma preposição – neste caso, da preposição com – e devem ser usados quando, na frase, o substantivo que substituem tem função de objeto indireto.
Com nós é utilizado sempre que seguido das seguintes palavras: mesmos, mesmas, próprios, próprias, todos, todas, outros, outras, ambos, ambas ou um numeral.
Conosco, forma contraída de com nós, é utilizado quando não houver nenhuma palavra que faça referência e reforce o sentido do nós.
Apesar das regras acima referidas, alguns gramáticos não condenam o uso das expressões conosco mesmos ou conosco próprios, sendo apenas preteridas por uma questão de eufonia.
Nota: Em Portugal, a palavra conosco é escrita com duplicação da consoante n: connosco.
Em linguagem coloquial é mais comum o uso da expressão com a gente. Essa expressão, contudo, deverá apenas ser usada em linguagem informal, sendo substituída pelo pronome conosco em contextos formais.
As formas contraídas comigo, contigo e consigo nunca se escrevem de forma separada, mesmo quando escritas com as palavras outro, outra, mesmo, mesma,…