As duas formas existem na língua portuguesa e estão corretas. A dúvida reside em quando se deve utilizar o infinitivo conseguir e quando se deve usar a forma flexionada consegui.
Consegui é a forma conjugada do verbo conseguir na 1.ª pessoa do singular do pretérito perfeito do indicativo:
Conseguir é a forma do verbo no infinitivo:
O erro acontece porque, numa fala corrente e descompromissada, o r final das formas verbais no infinitivo não é pronunciado (consegui em vez de conseguir, pedi em vez de pedir, medi em vez de medir,…), ficando assim a pronúncia das duas formas muito similar.
Conseguir é o infinitivo impessoal do verbo. Deverá ser usado, principalmente, em locuções verbais, quando o verbo tiver regência de uma preposição e quando não houver um sujeito definido, havendo ainda outros usos.
A dúvida na utilização do infinitivo ocorre principalmente nas locuções verbais e nas frases com preposições.
O verbo conseguir se refere ao ato de ser capaz, de realizar alguma coisa com sucesso. É sinônimo de alcançar, obter, conquistar e ganhar, entre outros.
Consegui é a forma verbal da 1.ª pessoa do singular do pretérito perfeito do indicativo. Deverá ser usada, principalmente, para indicar uma ação que ocorreu num determinado momento do passado.
Verbo conseguir – Pretérito perfeito do indicativo:
(Eu) consegui
(Tu) conseguiste
(Ele) conseguiu
(Nós) conseguimos
(Vós) conseguistes
(Eles) conseguiram
Nota: Consegui pode ser também a forma conjugada do verbo conseguir na 2.ª pessoa do plural do imperativo: consegui vós. É, contudo, uma forma verbal muito pouco utilizada pelos falantes.
Esta mesma dúvida ocorre também com outros verbos, sempre que a pronúncia do infinitivo do verbo se aproxima da pronúncia de alguma forma verbal.