As duas formas existem e estão corretas. Em se tratando de uma conjunção que liga orações, a forma correta de escrita da palavra é contudo e deve ser usada para indicar uma oposição a uma ideia anterior, sendo sinônima de mas. Com tudo, escrito separado, é utilizado para indicar uma quantidade, podendo o pronome tudo ser substituído por todas as coisas.
Exemplos:
Contudo é uma conjunção coordenativa adversativa, usada para ligar orações, transmitindo uma ideia de oposição. Sendo uma conjunção, é invariável. É obrigatório o uso de uma vírgula antes da palavra contudo, caso esta não apareça no início da frase. Contudo é sinônimo de mas, porém, todavia e no entanto, entre outras.
Exemplos:
A expressão com tudo é formada pela preposição com e pelo pronome indefinido tudo e transmite uma noção de quantidade, indicando que algo ou alguém está com todas as coisas. Assim, esta expressão admite as seguintes variações: com toda, com todas, com todo e com todos.
Exemplos:
Essa expressão é muito utilizada para indicar que alguém fez algo de forma muito dedicada, intensamente, de corpo e alma.
Exemplos: