As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. A palavra convir é a forma do verbo no infinitivo impessoal e convier é a forma conjugada do verbo convir na 1ª ou 3ª pessoa do singular do futuro do subjuntivo. O verbo convir se refere ao ato de ser conveniente e adequado, de vir a propósito. Significa também o ato de concordar, admitir.
Muitos falantes fazem confusão entre estas duas palavras, utilizando a forma no infinitivo impessoal convir em vez da forma no futuro do subjuntivo convier. O verbo convir é conjugado como o verbo vir. Assim, devemos dizer quando ele vier e quando lhe convier. Quando lhe convir está errado.
O futuro do subjuntivo se refere a um fato que poderá ocorrer no futuro. Pode ser utilizado também para indicar o desejo que algo aconteça ou a possibilidade que algo aconteça.
Futuro do subjuntivo
(Quando eu) convier
(Quando tu) convieres
(Quando ele) convier
(Quando nós) conviermos
(Quando vós) convierdes
(Quando eles) convierem
Exemplos:
Farei este trabalho apenas quando me convier.
Quando lhe convier, não hesite em me procurar para conversarmos sobre esse assunto.
Convir é a forma conjugada do verbo no infinitivo impessoal. O infinitivo impessoal deverá ser usado: quando não houver um sujeito definido, quando o verbo tiver regência de uma preposição, com sentido imperativo, quando o sujeito da segunda oração for igual, em locuções verbais e com alguns verbos que não formam locução verbal (ver, sentir, mandar,…).
Exemplos:
Você ainda há de convir que aquela foi a melhor opção.
Temos que convir que estas alterações foram benéficas