As duas palavras estão corretas e existem na língua portuguesa. Podemos utilizar as palavras cotidiano ou quotidiano sempre que quisermos referir os acontecimentos comuns que se sucedem todos os dias. A palavra cotidiano é a mais utilizada no português do Brasil enquanto a palavra quotidiano é a mais utilizada no português de Portugal.
As palavras cotidiano e quotidiano têm sua origem na palavra em latim quotidianus. Em quotidiano manteve sua origem, em cotidiano sofreu evolução, ou seja, adequação ortográfica. Podem ser adjetivos (minha rotina cotidiana/ minha rotina quotidiana) ou substantivos comuns (meu cotidiano/meu quotidiano).
A palavra cotidiano é tida como a mais correta e socialmente aceite, sendo a mais utilizada. A palavra quotidiano, embora com menor uso, aparece em dicionários como sendo o mesmo que cotidiano.
Exemplos:
Todas essas atividades fazem parte de meu cotidiano.
Todas essas atividades fazem parte de meu quotidiano.
Minha rotina cotidiana por vezes é monótona.
Minha rotina quotidiana por vezes é monótona.
Existem, na língua portuguesa, palavras que apresentam mais do que uma grafia correta. A estas palavras chamamos formas gráficas variantes. Embora haja sempre uma forma preferida e mais utilizada pelos falantes, todas as formas são corretas.