Se quisermos referir o ato de dar uma dica, uma pista ou uma amostra, bem como de resumir ou adiantar um assunto ou conteúdo, a expressão correta é dar uma palinha.
Palinha é o diminutivo do substantivo pala que, usado popularmente, é sinônimo de dica e pista. Essa expressão é muito usada no meio musical, quando os músicos apresentam breves trechos das suas músicas.
Essa expressão tem sido, contudo, deturpada atualmente, sendo erradamente convertida pela linguagem coloquial em dar uma palhinha.
A expressão dar palha (ou dar palhinha) também existe, mas apresenta um significado completamente diferente. Dar palha indica o ato de enganar alguém com uma conversa elaborada e palavras inúteis. Essa expressão, contudo, é pouco utilizada.
Exemplos com dar palha: