As duas palavras existem na língua portuguesa. São duas formas conjugadas do verbo desculpar no imperativo.
Desculpa está conjugado na 2ª pessoa do singular - tu.
Desculpe está conjugado na 3ª pessoa do singular - você.
Assim, devemos utilizar desculpa quando a frase concorda com o pronome tu e desculpe quando a frase concorda com o pronome você, estando as duas formas corretas.
Verbo desculpar - Imperativo:
(eu) ---
(tu) desculpa
(ele) desculpe
(nós) desculpemos
(vós) desculpai
(eles) desculpem
O modo imperativo expressa uma ordem, um alerta, uma recomendação, um pedido e uma sugestão.
Desculpa pode ser também a forma do verbo desculpar conjugado na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo, bem como um substantivo feminino, sinônimo de perdão, arrependimento, justificativa e pretexto.
Verbo desculpar - Presente do indicativo:
(eu) desculpo
(tu) desculpas
(ele) desculpa
(nós) desculpamos
(vós) desculpais
(eles) desculpam
Exemplos com desculpa:
Desculpe pode ser ainda a forma do verbo desculpar conjugado na 1.ª ou na 3.ª pessoa do singular do presente do subjuntivo.
Verbo desculpar - Presente do subjuntivo:
(que eu) desculpe
(que tu) desculpes
(que ele) desculpe
(que nós) desculpemos
(que vós) desculpeis
(que eles) desculpem
Exemplos com desculpe:
O verbo desculpar é formado a partir de derivação prefixal, tendo sido acrescentado o prefixo des- ao verbo culpar (des- + culpar = desculpar). O prefixo des-, de origem latina, significa uma separação, uma ação em sentido contrário, ou seja, não culpar.
O verbo desculpar se refere ao ato de perdoar uma falta cometida, bem como ao ato de justificar uma falta ou um erro. Significa ainda o ato de dispensar, livrar, desobrigar alguém de alguma coisa.
Assim, desculpar é sinônimo de absolver, relevar, escusar, eximir, pretextar, entre outros.