As duas formas existem na língua portuguesa e estão corretas. São sinônimos. A palavra destarte significa desta forma, deste modo, desta maneira e a palavra dessarte significa dessa forma, desse modo, dessa maneira. Transmitem uma noção de resumo, conclusão, recapitulação e são utilizados em registros eruditos ou formais, como nos documentos jurídicos.
As duas palavras são advérbios formados a partir de composição por aglutinação, ou seja, dois vocábulos que se unem numa só palavra:
Destarte: desta+arte
Dessarte: dessa+arte
A utilização destas duas formas segue as regras de utilização das palavras este e esse. Destarte é utilizado para referir o que vai ser mencionado no discurso e dessarte é utilizado para referir o que foi mencionado no discurso. São sinônimas de: assim sendo, à vista disso, consequentemente, em vista disso, então, isto posto, logo, pois, por conseguinte, por consequência, por isso, portanto, entre outros.
No âmbito sintático, atuam como conjunções coordenativas conclusivas, ligando duas orações numa relação semântica de conclusão ou consequência.
Exemplos: