As duas formas estão corretas. Durma e dorme são formas conjugadas do verbo dormir. Podem indicar diferentes tempos verbais. A dúvida normalmente surge quando indicam o imperativo.
No imperativo, durma é a forma verbal indicativa da 3.ª pessoa do singular (você) e dorme é a forma verbal indicativa da 2.ª pessoa do singular (tu).
Verbo dormir - Imperativo afirmativo:
(Eu) ---
(Tu) dorme
(Ele) durma
(Nós) durmamos
(Vós) dormi
(Eles) durmam
Assim, a escolha entre durma bem e dorme bem depende da forma como é feito o tratamento da pessoa com quem se fala.
Em algumas regiões do Brasil, o tratamento preferencial é com você: Durma bem!
Em outras regiões, o tratamento preferencial é com tu: Dorme bem!
O mais importante é que haja concordância ao longo de todo o discurso. Num tratamento por você todos os verbos deverão ser conjugados na 3.ª pessoa do singular e num tratamento por tu todos os verbos deverão ser conjugados na 2.ª pessoa do singular.
Certo: Durma bem e sonhe muito!
Certo: Dorme bem e sonha muito!
Errado: Durma bem e sonha muito!
No primeiro exemplo é feito o tratamento correto com você. No segundo exemplo é feito o tratamento correto com tu. O terceiro exemplo está errado porque há a mistura das duas formas de tratamento. O primeiro verbo indica um tratamento feito com você e o segundo verbo indica um tratamento feito com tu.
Dorme pode ser também a forma do verbo dormir conjugado na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo: ele dorme.
Verbo dormir - Presente do indicativo:
(Eu) durmo
(Tu) dormes
(Ele) dorme
(Nós) dormimos
(Vós) dormis
(Eles) dormem
Exemplos com dorme (presente):
Durma pode ser também a forma do verbo dormir conjugado na 1.ª ou na 3.ª pessoa do singular do presente do subjuntivo: que eu durma; que ele durma.
Verbo dormir - Presente do subjuntivo:
(Que eu) durma
(Que tu) durmas
(Que ele) durma
(Que nós) durmamos
(Que vós) durmais
(Que eles) durmam
Exemplos com durma: