As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. A palavra engatinhando é a mais utilizada no português do Brasil enquanto a palavra gatinhando é a mais utilizada no português de Portugal. Engatinhar ou gatinhar significa andar de gatinhas, de quatro.
Estas duas frases são corretas:
O verbo engatinhar é formado a partir de derivação prefixal e sufixal, ou seja, são acrescentados um prefixo e um sufixo a uma palavra já existente, alterando o sentido da mesma: en+gatinhas+ar.
As palavras que utilizamos atualmente na língua portuguesa têm prefixos de origem grega ou latina. O prefixo en- (ou em-) pode ser tanto de origem latina como de origem grega. Significa um movimento para dentro, uma posição interior.
O sufixo verbal –ar, acrescentado à palavra gatinhas, forma um verbo a partir de um substantivo.
Exemplos
Também se usa o verbo engatinhar para referir uma pessoa que está iniciando uma atividade, sendo novata nela.
Exemplo: Eu ainda estou engatinhando no meu novo trabalho.