As palavras entretenimento e entretimento estão corretas. A palavra entreterimento, com r, está errada, devendo ser evitada.
Podemos utilizar os substantivos entretimento e entretenimento sempre que quisermos referir um divertimento, uma brincadeira, uma distração, um passatempo.
A palavra entretenimento é tida como a mais correta e socialmente aceita, sendo a mais utilizada. A palavra entretimento, embora com menor uso, aparece em dicionários como sendo o mesmo que entretenimento.
A palavra entretimento é formada por derivação sufixal, sendo acrescentado o sufixo -mento ao verbo entreter. Entretimento = entreter + -mento.
A palavra entretenimento também é formada por derivação sufixal. Neste caso, o sufixo -mento aparece ligado ao verbo entretener, do espanhol estretenimiento. Entretenimento = entretener + -mento.
O sufixo -mento é um sufixo nominal que forma substantivos a partir de verbos. Sugere uma ação ou resultado dela.
Existem, na língua portuguesa, palavras que apresentam mais do que uma grafia correta. A estas palavras chamamos formas gráficas variantes. Embora haja sempre uma forma preferida e mais utilizada pelos falantes, todas as formas são corretas.
Exemplos de formas variantes