As duas formas estão corretas, podendo ser usadas de forma igual, conforme a preferência do falante:
Nessas frases, os pronomes que e quem atuam como uma partícula de realce, tendo uma função expletiva e expressiva, enfatizando a pessoa que agradece. Na realidade, ambos são desnecessários, podendo ser retirados da frase sem prejudicar o seu sentido: eu agradeço.
Apesar de as duas estarem corretas, a expressão com o pronome que é a mais utilizada:
Essa construção é maioritariamente utilizada em resposta a um agradecimento anterior. Pode indicar que é o emissor que está realmente grato pela pessoa que agradeceu primeiro ou ser apenas uma resposta cortês a um agradecimento.
Interlocutor 1: Muito obrigada pelo bufê que você preparou. Estava delicioso! Você é realmente um cozinheiro fantástico!
Interlocutor 2: Eu que agradeço!
As regras de concordância verbal com que e quem devem ser obedecidas quando os dois pronomes atuam como um pronome relativo, retomando um termo anterior.
Com o pronome relativo que, o verbo concorda sempre com o antecedente do pronome:
Com o pronome relativo quem, o verbo poderá…
Ficar sempre na 3.ª pessoa do singular:
Concordar com o antecedente do pronome: