A forma correta de escrita da palavra é focinho, com o. A palavra fucinho, com u na primeira sílaba, está errada.
O substantivo masculino focinho é usado maioritariamente para indicar a parte anterior da cabeça de alguns animais, composta pelo nariz e boca do animal:
A palavra focinho é ainda usada, com sentido pejorativo, para indicar o rosto humano. Na arquitetura é usada para indicar uma peça colocada em degraus de escadas.
A palavra focinho tem sua origem na palavra em latim faucinus, tendo evoluído para focinho em português.
As palavras cognatas de focinho são, também, escritas com o na primeira sílaba:
Embora com uma utilização muito reduzida, a palavra focinho pode ser a forma verbal do verbo focinhar conjugado na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo: eu focinho.
Este verbo indicar, principalmente, o ato de reconhecer, escavar ou atacar com o focinho.
Verbo focinhar - Presente do indicativo:
(eu) focinho
(tu) focinhas
(ele) focinha
(nós) focinhamos
(vós) focinhais
(eles) focinham
As palavras foucinho e foicinho existem e estão corretas, mas não devem ser confundidas com a palavra focinho. Foucinho e foicinho se referem a uma foice pequena.