Estas três formas estão corretas para indicar alguma coisa que não custa dinheiro, que não exige qualquer tipo de pagamento. São, assim, sinônimos.
Enquanto advérbio, grátis é sinônimo de gratuitamente. É usado para modificar verbos:
Enquanto adjetivo, grátis é sinônimo de gratuito. É usado para modificar substantivos:
Nota: Embora contestada por diversos autores, que afirmam que grátis atua apenas como advérbio, a classificação de grátis como adjetivo está dicionarizada e registada no vocabulário ortográfico da Academia Brasileira de Letras.
Enquanto adjetivo, gratuito é usado para modificar substantivos:
Frequentemente ocorre um erro de pronúncia na palavra gratuito. Sendo formada pelo ditongo decrescente ui, a vogal tônica é a vogal u: gra-tUi-to. A tonicidade na vogal i está errada.
O adjetivo gratuito pode ser usado, também, para indicar algo feito sem motivos, não tendo fundamento ou razão de acontecer, bem como algo feito de forma desinteressada, sem que se espere algo em troca.
De graça atua como um advérbio, sendo sinônimo de gratuitamente ou graciosamente. É usada para modificar verbos:
De graça é usado também para indicar algo que tem um preço muito baixo, sendo muito barato, bem como algo que é feito à toa, sem motivo.
Nota: O uso da expressão de grátis está errado. Expressões como ganhar grátis, ganhar de graça e ganhar gratuitamente também estão erradas, por serem redundantes.