As duas palavras existem na língua portuguesa. A palavra havíamos é o verbo haver conjugado na 1ª pessoa do plural do pretérito imperfeito do indicativo e a palavra aviamos é o verbo aviar conjugado na 1ª pessoa do plural do presente do indicativo.
A pronúncia das duas palavras é diferente. Em havíamos (ha-ví-a-mos) a sílaba tônica é o ví e em aviamos (a-vi-a-mos) a sílaba tônica é o a.
Verbo haver
O verbo haver é um verbo irregular e complexo, com particularidades em sua conjugação. Simplificando:
Quando se apresenta como verbo impessoal, sem sujeito, com significado de existir, deverá ser conjugado apenas na 3ª pessoa do singular.
Exemplos: Há crianças correndo no parque.
Quando se apresenta como verbo auxiliar, com significado equivalente a ter, poderá ser conjugado em todas as pessoas.
Exemplos: Mais cedo ou mais tarde, eles haveriam de parar!
Pretérito Imperfeito do Indicativo:
(Eu) havia
(Tu) havias
(Ele) havia
(Nós) havíamos
(Vós) havíeis
(Eles) haviam
Exemplos:
Nós havíamos dito que seu discurso estava errado.
Já havíamos de saber isso há muito tempo!
A palavra haver tem sua origem na palavra latina habere, devendo assim ser escrita sempre com h.
Verbo aviar
O verbo aviar pode ser utilizado com os sentidos de: executar, expedir, despachar, apressar, entre outros.
Presente do Indicativo:
(Eu) avio
(Tu) avias
(Ele) avia
(Nós) aviamos
(Vós) aviais
(Eles) aviam
Exemplos:
Nós aviamos diariamente aproximadamente mil encomendas. (Expedir)
Aviamos o que conseguimos, mas já é muito tarde. (Executar com rapidez)