Independente é um adjetivo, modifica um substantivo. Atribui qualidade de independência a algo ou alguém:
Independentemente é um advérbio. Advérbios modificam verbos, ou seja, as circunstâncias em que ocorrem determinada ação verbal:
As palavras independente e independentemente são elementos modificadores numa oração. Contudo, apesar de ambas derivarem de um mesmo verbo (depender), não são sinônimas porque exercem funções diferentes. Logo, uma não substitui a outra.
Dessa forma, usamos o adjetivo independente quando desejamos modificar o sentido do substantivo e usamos o advérbio independentemente quando queremos modificar o sentido de uma ação verbal.
O adjetivo independente modifica um substantivo ao atribuir a característica de autonomia em relação a algo ou alguém. Por exemplo:
Portanto, o adjetivo independente caracteriza substantivos, indicando-lhe a qualidade, estado ou modo de ser que não dependente de algo ou alguém.
O advérbio independentemente modifica verbos, adjetivos e, até mesmo, outro advérbio ou uma frase inteira, indicando como determinadas ações verbais ocorrem:
Logo, a palavra independentemente assume a função de advérbio, expressando a maneira independente de determinada circunstância.