As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas.
Influência, com acento circunflexo, é um substantivo feminino:
Influencia, sem acentuação gráfica, é uma forma do verbo influenciar:
A pronúncia das duas palavras é diferente.
Em influência, a sílaba tônica é a sílaba ên (in-flu-ÊN-ci-a).
Em influencia, a sílaba tônica é a sílaba ci (in-flu-en-CI-a).
Para referir o poder que uma pessoa pode exercer sobre outra, tendo a capacidade de agir sobre outra, devemos utilizar o substantivo feminino influência. Esta palavra significa poder, ação, autoridade, predomínio, crédito, prestígio.
Influencia é a forma do verbo influenciar conjugado na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo (ele influencia) ou na 2ª pessoa do singular do imperativo (influencia tu). O verbo influenciar se refere ao ato de exercer influência, agindo sobre uma pessoa.
Verbo influenciar - Presente do indicativo:
(eu) influencio
(tu) influencias
(ele) influencia
(nós) influenciamos
(vós) influenciais
(eles) influenciam
Verbo influenciar - Imperativo:
--- (eu)
influencia (tu)
influencie (você)
influenciemos (nós)
influenciai (vós)
influenciem (vocês)