A forma correta de escrita da palavra é ingressar. A palavra engressar está errada. Sempre que quisermos referir que alguém entrou em algum lugar, passando a fazer parte dele, devemos utilizar o verbo ingressar.
A palavra ingressar é formada da palavra ingresso mais o sufixo verbal –ar. Por sua vez, a palavra ingresso tem sua origem na palavra latina ingressu, devendo assim ser escrita com i e não com e. Também com i deverão ser escritas todas as palavras desta mesma família: ingresso, ingressar, ingressão.
A regência verbal do verbo ingressar se faz com a preposição em, ou seja, podemos ingressar em alguma coisa.
Exemplos:
Eu e minha irmã ingressamos no time de handebol.
Estudo muito para ingressar na faculdade.
Ela está sempre ingressando em tudo o que é atividade!