As duas palavras existem na língua portuguesa e estão certas.
Início, com a segunda sílaba acentuada graficamente, é um substantivo masculino sinônimo de começo e princípio.
Inicio, sem acentuação gráfica, é a forma verbal do verbo iniciar conjugado na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo: eu inicio.
A pronúncia das duas palavras é diferente:
O substantivo masculino início é usado, principalmente, para indicar o que começa ou vem em primeiro lugar, sendo sinônimo de começo, princípio e abertura. Pode indicar também uma inauguração, criação ou uma parte preliminar.
Se quisermos referir o verbo iniciar conjugado na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo, devemos utilizar: eu inicio.
O verbo iniciar se refere principalmente ao ato de dar início a alguma coisa, mas pode significar também o ato de inicializar um programa informático, ensinar e receber conhecimentos ou entrar para uma seita, sociedade ou culto.
Presente do indicativo:
(Eu) inicio
(Tu) inicias
(Ele) inicia
(Nós) iniciamos
(Vós) iniciais
(Eles) iniciam