As duas palavras existem e estão corretas. São formas conjugadas do verbo ir:
Ir é o infinitivo impessoal (não flexionado);
Irem é o infinitivo pessoal (flexionado).
A dúvida no uso de ir ou irem surge porque há situações em que devemos obrigatoriamente usar a forma flexionada (irem) e outras em que devemos obrigatoriamente usar a forma não flexionada (ir). Há, também, situações em que o uso de ir ou irem é facultativo, estando ambos corretos.
A palavra irem, forma verbal conjugada no infinitivo pessoal, é usada principalmente quando há um sujeito expressamente definido, estabelecendo concordância com esse sujeito.
Irem é usado, também, em orações em que não há um sujeito expresso, mas que se pretende definir esse sujeito, para evitar imprecisões
A palavra ir, forma verbal conjugada no infinitivo impessoal, é usada principalmente em locuções verbais e com verbos causativos e sensitivos, mesmo não formando locução verbal.
Ir é usado, também, quando o verbo tiver regência de uma preposição.
O uso do infinitivo pessoal ou do infinitivo impessoal é facultativo quando o sujeito da primeira oração e o da segunda oração forem iguais. É de referir que há, contudo, uma preferência pelo uso da forma não flexionada, por ser considerada uma construção mais simples.