As duas palavras estão corretas e existem na língua portuguesa. Podemos utilizar os verbos lacrimejar ou lagrimejar sempre que quisermos referir o ato de verter lágrimas, chorar, choramingar e lamentar. O verbo lacrimejar é tido como o mais correto e socialmente aceite, sendo o mais utilizado pelos falantes, talvez por se aproximar mais do seu étimo latino.
As palavras lagrimejar ou lacrimejar são formadas a partir de derivação sufixal, ou seja, é acrescentado um sufixo a uma palavra já existente, alterando o sentido da mesma. Em lagrimejar temos a palavra lágrima mais o sufixo -ejar: lágrima+ejar. Em lacrimejar temos a palavra em latim lacrima mais o sufixo –ejar: lacrima+ejar. O sufixo –ejar é um sufixo verbal e forma um verbo a partir de um substantivo.
Exemplos:
Seus olhos lacrimejavam por causa da luz clara e intensa.
Seus olhos lagrimejavam por causa da luz clara e intensa.
Por mais que tentasse evitar, a menina não conseguia parar de lacrimejar.
Por mais que tentasse evitar, a menina não conseguia parar de lagrimejar.
Não fique lacrimejando e venha me ajudar.
Não fique lagrimejando e venha me ajudar.
Existem, na língua portuguesa, palavras que apresentam mais do que uma grafia correta. A estas palavras chamamos formas gráficas variantes. Embora haja sempre uma forma preferida e mais utilizada pelos falantes, todas as formas são corretas.