A palavra malgrado e a expressão mau grado existem na língua portuguesa e estão corretas. Mau grado é sinônimo de má vontade. Malgrado é principalmente sinônimo de apesar de, embora possa indicar também algo feito contra a vontade, sendo, nessa acepção, sinônimo de mau grado.
A expressão mau grado, escrita de forma separada e com u na primeira sílaba, é usada para indicar algo feito de má vontade, a contragosto, contra a vontade de quem o fez, forçadamente.
Exemplos com mau grado:
Assim, mau grado é antônimo de bom grado, ou seja, de boa vontade:
A palavra malgrado, escrita de forma junta e com l na primeira sílaba, é usada maioritariamente enquanto preposição, sendo sinônima de: apesar de, não obstante, a despeito de, independentemente de, ainda que, mesmo que, sem embargo de,...
Exemplos com malgrado (preposição):
Apesar de malgrado ser usado maioritariamente como uma preposição, encontra-se dicionarizado que, enquanto substantivo masculino, malgrado indica um desagrado, descontentamento ou insatisfação com alguma coisa, sendo sinônimo de mau grado, má vontade, desagrado, descontentamento e insatisfação.
Exemplos com malgrado (substantivo):