As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas.
Mexa é uma forma conjugada do verbo mexer. Deverá ser pronunciada com e fechado (ê).
Exemplo: Não se mexa!
Mecha indica, principalmente, um feixe de cabelos, sendo sinônimo de madeixa ou melena. Deverá ser pronunciada com e aberto (é).
Exemplo: Estou separando estas mechas no seu cabelo para fazer uma trança.
Mexa é a forma conjugada do verbo mexer na 1.ª ou na 3.ª pessoa do singular do presente do subjuntivo ou na 3.ª pessoa do singular do imperativo.
Verbo mexer - Presente do subjuntivo:
(Que eu) mexa
(Que tu) mexas
(Que ele) mexa
(Que nos) mexamos
(Que vos) mexais
(Que eles) mexam
Verbo mexer - Imperativo:
(Eu) ---
(Tu) mexe
(Ele) mexa
(Nos) mexamos
(Vos) mexei
(Eles) mexam
O verbo mexer é muito utilizado, se referindo ao ato de revolver o conteúdo de algo; de pôr em movimento, tirando do lugar; de rebolar o corpo; de tocar com as mãos; de ter algo como ocupação; de fazer referência a algo; de provocar, paquerar ou brincar com uma pessoa; de provocar alterações; de entrar em ação; de se apressar e de causar tristeza ou transtorno.
Assim, mexer é sinônimo de remexer, revolver, mover, remover, movimentar, rebolar, requebrar, tocar, bulir, ocupar-se, trabalhar, implicar, provocar, namoricar, zombar, alterar, agir, apressar-se, abalar, afetar, entre outros.
Existem algumas regras que definem quando deve ser utilizado x ou ch.
No caso de mexer, a regra indica que devemos utilizar o x nas palavras após a sílaba inicial me-:
O substantivo feminino mecha possui diversos significados, mas é usado maioritariamente para indicar um feixe de cabelo, principalmente quando tingido de uma cor diferente da cor natural do cabelo.
Mecha indica também qualquer espécie de feixe de fios retorcidos, como qualquer espécie de pavio ou rastilho de material explosivo.
A palavra mecha é uma exceção à regra da escrita de x após a sílaba inicial me-. Visto ter sua origem na palavra em francês mèche, deve ser escrita com ch.