As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Mim, com m final, é um pronome pessoal oblíquo tônico: para mim, de mim, por mim. Min, com n final, é a forma abreviada da palavra minuto: 15min, 30min, 60min.
Mim é um pronome pessoal oblíquo tônico, usado para substituir um substantivo que tem a função de objeto indireto. Deverá ser sempre precedido de uma preposição, como: para, a, de e com.
Pronomes pessoais oblíquos tônicos
1.ª pessoa do singular - mim, comigo
2.ª pessoa do singular - ti, contigo
3.ª pessoa do singular - ele, ela, si
1.ª pessoa do plural - nós, conosco
2.ª pessoa do plural - vós, convosco
3.ª pessoa do plural - eles, elas, si
Min é a abreviação da palavra minuto. As abreviaturas utilizadas internacionalmente devem ser escritas no singular, em letra minúscula, sem ponto abreviativo: 1min, 10min, 50min, 125min,...
Havendo a necessidade de indicar também as horas e os segundos, as abreviações corretas são: h (horas) e s (segundos): 15h21m17s.