As duas palavras estão corretas e existem na língua portuguesa. Podemos utilizar os verbos mostrar e amostrar sempre que quisermos referir o ato de apresentar, exibir, indicar, revelar.
O verbo mostrar é tido como o mais correto e socialmente aceito, sendo o mais utilizado. O verbo amostrar, embora com um uso mais popular, aparece em dicionários como sendo o mesmo que mostrar. Por desconhecimento, muitas pessoas o consideram errado.
Os verbos mostrar e amostrar têm sua origem na palavra em latim monstrare. A palavra amostrar é ainda formada a partir de derivação prefixal, sendo acrescentado o prefixo a- ao verbo mostrar: a- + mostrar.
O prefixo a-, no verbo amostrar, funciona como um elemento protético, ou seja, um elemento com valor expletivo que não provoca qualquer alteração de sentido, não trazendo nenhuma nova ideia ou significado à palavra mãe. É utilizado apenas como apoio fonético sendo, assim, dispensável.
Embora o verbo amostrar seja o menos aceito, o mesmo não acontece com os substantivos cognatos amostra e amostragem, frequentemente utilizados pelos falantes.
Existem, na língua portuguesa, palavras que apresentam mais do que uma grafia correta. A estas palavras chamamos formas gráficas variantes. Embora haja sempre uma forma preferida e mais utilizada pelos falantes, todas as formas são corretas.
Exemplos de formas gráficas variantes: