Segundo a norma culta, a forma correta de escrita desta expressão é não há de quê. Contudo, a expressão não tem de quê é frequentemente utilizada, sendo aceitável em linguagem informal.
Não há de quê e não tem de quê são formas corteses de responder a um agradecimento, indicando que não há motivo para o agradecimento.
Exemplo com não há de quê:
— Obrigado!
— Não há de quê!
Exemplo com não tem de quê:
— Obrigado!
— Não tem de quê!
Na expressão não há de quê, o verbo haver atua como um verbo impessoal, sem sujeito, estando conjugado sempre na 3.ª pessoa do singular.
Em linguagem coloquial, é feita a substituição do verbo haver pelo verbo ter para indicar a existência de algo. A impessoalidade do verbo haver mantém-se com o verbo ter que deve, assim, ser sempre escrito também na 3.ª pessoa do singular.
Dessa forma, nas duas expressões deverão ser escritos sempre há ou tem. Estão erradas expressões como não têm de quê ou não tens de quê.