As duas palavras existem na língua portuguesa. A palavra negligência é um substantivo comum feminino, sinônimo de displicência, descuido, desleixe. Negligencia é o verbo negligenciar conjugado na 3ª pessoa do singular do presente do indicativo ou na 2ª pessoa do singular do imperativo. O verbo negligenciar se refere ao ato de se descuidar, de desleixar.
A pronúncia das duas palavras é diferente. Em negligência (ne-gli-gên-ci-a) a sílaba tônica é o gên e em negligencia (ne-gli-gen-ci-a) a sílaba tônica é o ci.
Devemos utilizar a palavra negligência se nos referirmos a um substantivo comum feminino com significado de desleixo, desinteresse, menosprezo, desmazelo.
Exemplos:
O médico foi acusado de negligência.
Qualquer tipo de negligência com crianças será punido por lei.
Um bom funcionário não demonstra negligência no cumprimento de seu trabalho.
Se estivermos falando do verbo negligenciar conjugado na 3ª pessoa do singular do presente do indicativo ou na 2ª pessoa do singular do imperativo, devemos utilizar: ele negligencia ou negligencia tu.
Presente do indicativo:
(Eu) negligencio
(Tu) negligencias
(Ele) negligencia
(Nós) negligenciamos
(Vós) negligenciais
(Eles) negligenciam
Imperativo:
(Eu) ---
(Tu) negligencia
(Ele) negligencie
(Nós) negligenciemos
(Vós) negligenciai
(Eles) negligenciem
Exemplo:
Aquela mãe negligencia os filhos.
O aluno negligencia o estudo.