As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Têm, contudo, significados diferentes.
Paizinho é o diminutivo da palavra pai.
Paisinho é o diminutivo da palavra país.
A pronúncia dessas duas palavras é também diferente.
Em paizinho há um ditongo: pai-zi-nho.
Em paisinho há um hiato: pa-i-si-nho.
As palavras paizinho e paisinho são formadas a partir de derivação sufixal. No português, existem vários sufixos que formam o grau diminutivo das palavras, como -inho, -zinho, -ito, -zito, -ino, -ela,…, sendo os sufixos -inho e -zinho os mais utilizados, uma vez que se juntam a substantivos, adjetivos, advérbios e até pronomes.
Em paizinho, é acrescentado o sufixo nominal diminutivo -zinho à palavra pai: pai + -zinho. Em paisinho, é acrescentado o sufixo nominal diminutivo -inho à palavra país: país + -inho.
Estes dois sufixos se comportam de modo diferente aquando da formação do grau diminutivo das palavras. O sufixo -inho se liga ao radical das palavras e o sufixo -zinho se liga às próprias palavras.
O grau diminutivo dos substantivos indica diminuição e pequenez, mas pode transmitir também uma ideia de carinho, com grande valor afetivo, ou uma ideia de menosprezo, de troça.
Havendo a consoante s no radical das palavras, usamos o sufixo -inho:
Não havendo a consoante s no radical das palavras, usamos o sufixo -zinho:
Alguns autores defendem que o z do sufixo -zinho apenas funciona como um elemento de ligação entre a palavra e o sufixo diminutivo -inho, não reconhecendo -zinho como um sufixo independente, mas sim uma variação do sufixo -inho.
Nota: Quando há a consoante z no radical das palavras, usamos apenas o sufixo -inho: