As duas expressões existem na língua portuguesa e estão corretas. São sinônimas na indicação de uma causa. Embora vários gramáticos e linguistas condenem o uso de por conta de como sinônimo de por causa de, essa acepção se encontra dicionarizada, sendo correta.
Exemplos:
Ainda assim, deverá ser privilegiado o uso da expressão por causa de na transmissão de uma razão, visto ser a mais apropriada para esse efeito, com mais antiguidade e reconhecimento pelos falantes. Além disso, deverá ser evitado o exagero que atualmente existe no uso da expressão por conta de.
A expressão por causa de indica a razão de algo ter acontecido, sendo sinônima de: devido a, por motivo de, em razão de, em virtude de, graças a e por obra de, entre outros.
Exemplos:
A expressão por conta de indica que algo está sob a responsabilidade de alguém, sendo sinônima de: a cargo de, às custas de, sob a responsabilidade de. Pode significar também que algo é custeado ou financiado por alguém. é também sinônima de por causa de, indicando a causa de algo.
Exemplos - a cargo de:
Exemplos - financiado por:
Exemplos - por causa de: