As duas hipóteses existem na língua portuguesa e estão corretas. Contudo, têm significados diferentes, devendo ser usadas em situações diferentes.
Portanto indica uma consequência ou uma conclusão de uma ação anterior.
Exemplo: Já fiz os deveres de casa. Posso, portanto, ir brincar!
Por tanto indica uma quantidade ou um valor indeterminado.
Exemplo: Estou sensibilizado por tanto carinho que recebi.
Portanto é uma conjunção coordenativa conclusiva com significado de por conseguinte e por isso. É uma conjunção invariável, utilizada na ligação a uma oração anterior para indicar uma consequência ou uma conclusão dessa primeira ação. Deverá ser usada com vírgulas.
Portanto é sinônimo de: por isso, por consequência, por conseguinte, consequentemente, dessa forma, dessa maneira, desse modo, assim sendo, à vista disso, isto posto, logo, dessarte e destarte, entre outras.
Por tanto é uma sequência formada pela preposição por e pela palavra tanto, que pode ser um pronome indefinido, um adjetivo, um advérbio ou um substantivo.
Por tanto indica uma quantidade, valor, quantia, porção,… indeterminada e incerta. Aceita flexão em gênero e número:
Por tanto é sinônimo de: por muito, por tamanho, por tal quantidade, por tal número, por tão grande,…