A forma correta de escrita da palavra é primeira-dama, com hífen. Primeira dama, escrito de forma separada, está errado. O substantivo feminino primeira-dama se refere à esposa de um governante. Embora seja maioritariamente utilizado para indicar a esposa do Presidente da República, pode indicar também a esposa de um governador ou de um prefeito.
A ortografia do substantivo composto primeira-dama, com hífen, não sofreu qualquer alteração com a entrada em vigor do Novo Acordo Ortográfico.
Segundo o acordo, o hífen se mantém nas palavras compostas por justaposição sem elementos de ligação, cujos elementos formam uma unidade com significado próprio.
Mantém-se assim o hífen nas palavras compostas em que o primeiro elemento é um numeral, como:
O plural do substantivo primeira-dama é primeiras-damas.
Segundo as regras de formação do plural dos substantivos compostos, ocorre a flexão em número dos dois elementos da palavra quando se trata de um numeral e um substantivo.