A forma correta de escrita da palavra é rapidamente, sem acento agudo. A palavra rápidamente está errada porque rapidamente não tem acento gráfico.
O advérbio rapidamente indica que algo foi feito com rapidez, com pressa ou de forma superficial. É sinônimo de depressa, rápido, velozmente, apressadamente, precipitadamente, superficialmente, levemente e ligeiramente, entre outros.
Rapidamente é uma palavra formada por derivação sufixal, tendo sido acrescentado o sufixo adverbial -mente à forma feminina do adjetivo rápido: rápida + -mente. O sufixo -mente indica o modo como algo acontece.
O adjetivo rápido é acentuado graficamente, tendo a sílaba rá como sílaba tônica: RÁ-pi-do. Com a junção do sufixo -mente, a sílaba rá deixa de ser a sílaba tônica, passando a ser men: ra-pi-da-MEN-te. A sílaba rá passa, assim, a ser uma sílaba subtônica.
Antigamente, algumas palavras mantinham acentuação na sílaba subtônica. Contudo, atualmente, isso já não ocorre, não sendo acentuadas as vogais subtônicas das palavras formadas por derivação sufixal:
Atenção! O til permanece!
Caso a palavra original seja formada com til, ele permanecerá na palavra derivada. O til não é um acento gráfico, mas sim um sinal auxiliar da escrita, indicando nasalização: