As palavras site e sítio existem no português e estão corretas. Site é a palavra mais utilizada, sendo a forma preferencial no português do Brasil. A palavra saite está errada. A palavra sítio é maioritariamente utilizada no português de Portugal.
Site é um estrangeirismo, sendo a forma original de escrita da palavra em inglês. Dado ser um estrangeirismo, o mais correto será escrever site em itálico ou entre aspas, indicando sua condição de palavra estrangeira.
Site e sítio se referem a uma página da Internet ou a um conjunto de páginas da Internet, sendo sinônimos de website.
Enquanto em alguns estrangeirismos são utilizadas as palavras nas suas formas originais (como mouse, delivery, shopping,…), em outros são utilizadas as formas aportuguesadas das palavras (tal como batom, abajur, boxe,…).
No caso em questão, sítio é a forma aportuguesada da palavra site. Essa escolha não é, contudo, aceita de forma unânime. Sendo o aportuguesamento de uma palavra feito com base na pronúncia da palavra e nas regras da língua portuguesa, muitos defendem que o aportuguesamento mais adequado seria saite.
A palavra saite, porém, não se encontra dicionarizada, nem reconhecida no vocabulário ortográfico da Academia Brasileira de Letras.
Ainda assim, estando a língua portuguesa em constante alteração, evolução e atualização e sendo muito defendido atualmente que o uso faz a regra e não o contrário, não será descabido considerar que a palavra saite poderá vir a ficar consagrada pelo uso, passível de ser utilizada em diversos contextos.