A forma correta de escrita da palavra é tranquilo. A palavra tranqüilo está errada porque está em desuso, tendo sido modificada pelo mais recente acordo ortográfico. Devemos utilizar o adjetivo tranquilo sempre que quisermos referir uma situação ou uma pessoa calma, sem perturbações, sem dúvidas, sem receios. Significa também um local onde há paz e estabilidade, bem como algo que acontece de forma regular. Tranquilo tem sua origem na palavra em latim tranquillu e é sinônimo de calmo, equilibrado, sossegado, sereno, bonançoso, despreocupado, pacato, impassível, estável, pacífico, garantido, certo, confiante, otimista, regular, corrente, entre outros.
Exemplos:
Todos se exaltaram, mas ele permaneceu tranquilo.
O mar estava tão tranquilo que parecia uma lagoa.
É tranquilo, vai dar certo! Não se preocupe com isso.
Segundo o Novo Acordo Ortográfico, que entrou em vigor em janeiro de 2009, o trema foi abolido de todas as palavras portuguesas e aportuguesadas. Mantém-se apenas em palavras derivadas de nomes próprios estrangeiros, como hübneriano (de Hübner), mülleriano (de Müller), …
Antes do acordo: tranqüilo, eloqüente, cinqüenta, freqüente, conseqüência, seqüestro, lingüiça, pingüim, agüentar, …
Depois do acordo: tranquilo, eloquente, cinquenta, frequente, consequência, sequestro, linguiça, pinguim, aguentar, …
No português do Brasil, o trema era utilizado na vogal u nas sílabas que, qui, gue e gui para destacar seu som, indicando que a vogal deveria ser pronunciada.