As duas palavras existem e estão corretas. São formas verbais do verbo vir:
Venho está no presente do indicativo: eu venho.
Veio está no pretérito perfeito do indicativo: ele veio.
Venho é a forma conjugada do verbo vir na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo.
Verbo vir - Presente do indicativo:
(Eu) venho
(Tu) vens
(Ele) vem
(Nós) vimos
(Vós) vindes
(Eles) vêm
O presente do indicativo é usado para indicar principalmente uma ação que ocorre no momento da sua narração ou uma ação habitual.
Veio é a forma conjugada do verbo vir na 3.ª pessoa do singular do pretérito perfeito do indicativo.
Verbo vir - Pretérito perfeito do indicativo:
(Eu) vim
(Tu) vieste
(Ele) veio
(Nós) viemos
(Vós) viestes
(Eles) vieram
O pretérito perfeito do indicativo indica uma ação que aconteceu num momento definido do passado.
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