As palavras viagem e viajem existem na língua portuguesa e estão corretas.
Viagem, com g, é um substantivo. É sinônimo de passeio, jornada e deslocamento:
Viajem, com j, é uma forma conjugada do verbo viajar:
O substantivo feminino viagem indica uma jornada, um passeio para um determinado lugar, um deslocamento de alguém de um ponto mais próximo para um ponto mais distante.
Viagem pode ser também uma gíria que significa uma experiência de alterações sensoriais provocadas por substâncias alucinógenas.
Viajem é a forma do verbo viajar conjugado na 3.ª pessoa do plural do presente do subjuntivo (que eles viajem) ou na 3.ª pessoa do plural do imperativo (viajem eles). É sinônimo de passeiem.
Viajar indica o ato de se deslocar de um lugar para outro, de percorrer caminhos, de visitar países e cidades. Pode significar também o ato de ter alucinações, delirar, sonhar e imaginar.
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Viagem deve ser escrito com g porque todos os substantivos terminados em -agem, -igem, -ugem são escritos com g:
O verbo viajar é formado a partir do substantivo viagem mais o sufixo verbal -ar, sendo escrito com j para manter a sonoridade, para não ficar "viagar". Também com j são escritas todas as formas verbais dos verbos terminados em -jar, sendo esse o caso de viajar.
Verbo viajar - Presente do subjuntivo:
(Que eu) viaje
(Que tu) viajes
(Que ele) viaje
(Que nós) viajemos
(Que vós) viajeis
(Que eles) viajem
Verbo viajar - Imperativo:
(Eu) ---
(Tu) viaja
(Ele) viaje
(Nós) viajemos
(Vós) viajai
(Eles) viajem