As duas palavras existem na língua portuguesa. A palavra contexto é um substantivo comum masculino, sinônimo de circunstância, ambiente. Contesto é o verbo contestar conjugado na 1ª pessoa do singular do presente do indicativo. Contestar se refere ao ato de recusar, duvidar, reclamar.
A palavra contexto tem sua origem na palavra em latim contextus, devendo assim ser escrita com x. Refere-se a uma conjuntura, enquadramento ou ambiente, ou seja, a um conjunto de circunstâncias quem envolvem um acontecimento, uma situação. Também se refere ao encadeamento do discurso, a um conjunto de condições para uso da língua e atribuição de significado às palavras.
Exemplos:
Esta palavra foi usada em que contexto?
Diminuir as despesas é uma boa escolha devido ao contexto de crise econômica mundial existente.
Quem nasceu e cresceu naquele contexto social dificilmente conhecerá outra realidade.
O verbo contestar tem sua origem na palavra em latim contestare, devendo assim ser escrita com s. Refere-se ao ato de contradizer, mostrar oposição, não aceitar, recusar, pôr em dúvida alguém ou alguma coisa.
Presente do indicativo:
(Eu) contesto
(Tu) contestas
(Ele) contesta
(Nós) contestamos
(Vós) contestais
(Eles) contestam
Exemplo:
Eu contesto o que foi dito por não ser verdade.
Eu contesto com veemência sempre que me sinto injustiçada.